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Elastic contact of equal spheres under oblique forces
by Juergen Jaeger, Blattwiesenstr. 7, D-76227 Karlsruhe, Germany
Contact Mechanics International Symposium, Ed.: A. Curnier, Proceedings, October 7 - 9, 1992, Lausanne, Presses polytechniques et universitaires romandes, Lausanne, Switzerland, pp. 508
email: j_jaeger@t-online.de
Summary: An investigation is made of the phenomena occurring at the contact of elastic spheres, subjected to forces with varying tangential component, in one direction, with changing sign, and varying normal component. The contact law is based on the assumption, introduced by H. Hertz [3], that both bodies behave physically like elastic half-spaces. We assume constant stress directions in the slip area in order to use so-called Cattaneo-Mindlin functions to solve the tangential boundary value problem. The stress distribution of the Cattaneo-Mindlin theory [2], [8] is rotational symmetric and has a typical break at the border of the stick area at ro=a1*, for a1*<a1 , with the radius a1* of the stick area and the radius a1 of the contact area. The general solution of the tangential contact problem can be written as a sum of Cattaneo-Mindlin functions. The appropriate superposition of two Cattaneo-Mindlin functions yields a new Cattaneo-Mindlin function, which simplifies the calculation of the force and the displacement. We will arrive at a formula for the force-displace ment relation of general load-histories, which can be reduced to the compliances of Mindlin & Deresiewicz [9] by differentiation. In contrast to Mindlin & Dere siewicz our formula depends only on the points of instantaneous adhesion Pi, for 1<=i<=N-1, and the current displacements xN, zN in tangential and normal direction of the initial contact point, which simplifies the solution. It also allows a generalization for oblique load-histories with elliptical contact areas and tangential forces in varying directions [4]. Finally an algorithm is given, which determines the essential number of Cattaneo-Mindlin functions.
Elastischer Kontakt gleicher Kugeln unter schiefen Kräften
Übersicht: Es werden die Phänomene untersucht, die beim Kontakt elastischer Kugeln unter der Einwirkung von Kräften mit veränderlicher, unidirektionaler Tangentialkomponente mit veränderlichem Vorzeichen und veränderlicher Normalkomponente, auftreten. Das Kontaktgesetz beruht auf der von H. Hertz [3] eingeführten Annahme, daß sich beide Körper physikalisch wie elastische Halbräume verhalten. Wir nehmen konstante Spannungsrichtungen im Gleitge biet an, um mithilfe sogenannter Cattaneo-Mindlin Funktionen das tangentiale Randwertproblem zu lösen. Die Spannungsverteilung der Cattaneo-Mindlin- Theorie [2], [8] ist rotationssymmetrisch und hat einen typischen Knickpunkt am Rand des Haftgebiets an der Stelle ro=a1*, für a1*<a1, mit dem Radius a1* des Haftgebiets und dem Radius a1 des Kontaktgebiets. Die allgemeine Lösung des tangentialen Kontaktproblems kann als eine Summe von Cattaneo-Mindlin Funktionen dargestellt werden. Die geeignete Überlagerung von zwei Cattaneo- Mindlin Funktionen ergibt eine neue Cattaneo-Mindlin Funktion, was die Berechnung der Kraft und der Verschiebung beträchtlich vereinfacht. Wir leiten eine Formel für die Kraft-Verschiebungs Beziehung bei allgemeinen Belastungs geschichten her, die durch Differentiation auf die Nachgiebigkeiten von Mindlin & Deresiewicz [9] reduziert werden kann. Im Gegensatz zu Mindlin & Deresiewicz hängt unsere Formel nur von den Punkten momentanen Haftens Pi (für 1<=i<=N-1 ) und von den aktuellen Verschiebungen xN und zN in tangentialer und normaler Richtung des anfänglichen Kontaktpunktes ab, was die Lösung vereinfacht. Es ermöglicht auch eine Verallgemeinerung für schiefe Belastungs geschichten mit elliptischen Kontaktgebieten und Tangentialkräften mit veränderlicher Richtung [4]. Schließlich wird ein Algorithmus angegeben, welcher die notwendige Zahl von Cattaneo-Mindlin Funktionen bestimmt.
References
1. Barber, J. R.: Adhesive contact during the oplique impact of elastic spheres. Journal of Applied Mechanics and Physics, ZAMP, Vol. 30, 1979, 468- 476.
2. Cattaneo, C.: Sul Contatto die due corpi elastici: distributione locale degli sforzi. Academia Nationale dei Lincei, Rendiconti, Serie 6, Vol. 27, 1938, 342-348, 434-436, 474-478.
3. Hertz, H.: šber die Berührung fester elastischer Körper. Journal für die reine und die angewandte Mathematik (Crelle), 92, 1882, 156-171.
4. Jaeger, J.: Elastic impact with friction. Thesis, Delft, The Netherlands, to appear in November 1992.
5. Johnson, K. L.: Contact Mechanics. Cambridge (UK), Cambridge University Press, 1985.
6. Kalker, J. J.: Three-dimensional elastic bodies in rolling contact. Dordrecht, Boston, London, Kluwer Academic Publishers, 1990, ISBN 0-7923-0712-7.
7. Klarbring, A.: (Non-)uniqueness and (non-)existence of frictional rate problems. Euromech Colloquium 273: Unilateral Contact and Dry Friction, La Grande Motte, France, May 29 - June 1, 1990.
8. Mindlin R. D.: Compliance of elastic bodies in contact, Journal of Applied Mechanics, Vol. 16, 1949, 259-268.
9. Mindlin R. D.; Deresiewicz H.: Elastic spheres in contact under varying oblique forces, Journal of Applied Mechanics, Vol. 20, 1953, 327-344.
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